고전 실험계획법 (DOE) — ANOVA·완전요인·부분요인 설계 | 학습 위키

실험계획법이란?

최소의 실험 횟수로 최대의 정보를 얻도록 실험을 체계적으로 설계하는 방법론입니다.

비교: 일반 실험 (One-Factor-At-a-Time, OFAT)
  → 한 번에 인자 하나만 변경 → 교호작용 파악 불가, 비효율적

DOE:
  → 여러 인자를 동시에 체계적으로 변경
  → 주효과 + 교호작용 + 최적 조건을 한 번에 파악

핵심 용어

용어	설명	예
인자 (Factor)	실험에서 변경하는 독립변수	온도, 압력, 속도
수준 (Level)	인자의 설정값	온도: 100°C, 150°C
반응 (Response)	측정하는 종속변수	인장강도, 불량률
처리 (Treatment)	인자 수준의 조합	(100°C, 2bar)
블록 (Block)	통제 가능한 외란 요인 묶음	작업자, 배치
교호작용 (Interaction)	두 인자가 함께 반응에 미치는 영향	A×B
반복 (Replication)	동일 처리 조건의 독립 반복 실험	각 조건 3회

1. 분산분석 (ANOVA, Analysis of Variance)

개념

3개 이상 집단의 평균 차이를 분산 비교로 검정합니다.

H₀: μ₁ = μ₂ = … = μₖ (모든 집단 평균 동일)
H₁: 적어도 하나의 평균이 다름

검정 논리:
  집단 간 변동(BSS) ≫ 집단 내 변동(WSS)
  → 처리 효과가 있음

1-1. 일원 분산분석 (One-Way ANOVA)

인자 1개, k개 수준

분산 분해:

SST = SSA + SSE

SST: 총 변동 = Σ Σ (yᵢⱼ - ȳ..)²
SSA: 인자 A 효과 = Σ nⱼ(ȳⱼ - ȳ..)²   (급간 변동)
SSE: 잔차 = SST - SSA                  (급내 변동)

ANOVA 표:

요인	SS	df	MS	F
인자 A	SSA	k-1	MSA = SSA/(k-1)	MSA/MSE
오차 (Error)	SSE	N-k	MSE = SSE/(N-k)	—
합계	SST	N-1	—	—

판정: F > F(α, k-1, N-k) 이면 집단 간 평균 차이 유의

💡 ANOVA는 어디에 차이가 있는지 알려주지 않습니다.
유의한 차이가 있으면 사후 검정(Post-hoc) 으로 어떤 집단 간에 차이가 있는지 확인합니다.
(Tukey, Bonferroni, Duncan 등)

1-2. 이원 분산분석 (Two-Way ANOVA)

인자 2개 (A, B), 교호작용(A×B) 포함

분산 분해:

SST = SSA + SSB + SSAB + SSE

SSA: 인자 A 주효과
SSB: 인자 B 주효과
SSAB: 교호작용 A×B
SSE: 오차

ANOVA 표:

요인	SS	df	MS	F
A	SSA	a-1	MSA	MSA/MSE
B	SSB	b-1	MSB	MSB/MSE
A×B	SSAB	(a-1)(b-1)	MSAB	MSAB/MSE
오차	SSE	ab(n-1)	MSE	—
합계	SST	abn-1	—	—

교호작용 해석

교호작용 있음: A의 효과가 B 수준에 따라 달라짐
교호작용 없음: A의 효과가 B 수준과 무관하게 일정

교호작용 그래프:
  교호작용 없음    교호작용 있음
  ↑y             ↑y
  │ ──── B1      │ ──── B1
  │ ──── B2      │      \B2 (교차)
  └──── x        └──── x
  평행선           교차선

💡 시험 포인트: 교호작용이 유의하면 주효과만 보면 안 됩니다. 상호작용 그래프를 함께 해석해야 합니다.

2. 완전요인실험 (Full Factorial Design)

모든 인자의 모든 수준 조합을 실험합니다.

2ᵏ 요인설계 (2수준 k인자)

각 인자를 저수준(-1)과 고수준(+1) 두 수준으로 설정합니다.

인자 수 k  처리 수(런 수)  파악 가능한 효과
    2          4(=2²)         A, B, AB
    3          8(=2³)         A, B, C, AB, AC, BC, ABC
    4         16(=2⁴)         15가지 효과
    5         32(=2⁵)         31가지 효과

2³ 설계 예시 (인자 3개)

런	A	B	C	AB	AC	BC	ABC
1	-	-	-	+	+	+	-
2	+	-	-	-	-	+	+
3	-	+	-	-	+	-	+
4	+	+	-	+	-	-	-
5	-	-	+	+	-	-	+
6	+	-	+	-	+	-	-
7	-	+	+	-	-	+	-
8	+	+	+	+	+	+	+

효과 계산:

주효과 A = (A=+1인 반응값 평균) - (A=-1인 반응값 평균)
교호작용 AB = (AB=+1인 반응값 평균) - (AB=-1인 반응값 평균)

반응 표면 (Response Surface)

완전요인실험으로 최적 조건의 방향을 찾은 후, 최적점을 향해 이동합니다.

3. 부분요인실험 (Fractional Factorial Design)

인자가 많을 때 전체 실험의 일부(1/2, 1/4, …)만 수행합니다.

2ᵏ⁻ᵖ 설계

k: 인자 수
p: 생략한 요인 수 (분해능에 영향)
실험 횟수: 2^(k-p)

예: 2^(5-2) = 8번 실험으로 5인자 탐색

분해능 (Resolution)

얼마나 효과들이 서로 혼동(Alias) 되는지의 척도입니다.

분해능	의미	혼동 관계
Resolution III	주효과 추정 가능	주효과 ↔ 2인자 교호작용 혼동
Resolution IV	주효과 명확	2인자 교호작용 ↔ 2인자 교호작용 혼동
Resolution V	주+2인자 교호작용 명확	2인자 ↔ 3인자 교호작용 혼동

💡 일반 규칙: Resolution V 이상이면 주효과와 2인자 교호작용을 독립적으로 추정 가능합니다.

생성자 (Generator)와 별칭 관계

2^(4-1) 설계 예: D = ABC (생성자)
I = ABCD (정의 관계)
→ D와 ABC가 혼동: D의 효과를 추정하면 ABC 효과도 포함됨

4. 중심합성 설계 (CCD, Central Composite Design)

2수준 완전요인실험에 축점(Axial Points)과 중심점(Center Points)을 추가해 곡선 관계(2차 모델)를 탐색합니다.

CCD 구성요소:
  ① 2ᵏ 요인 런 (꼭짓점) ← 2수준 완전요인
  ② 축점 (Star Points): 각 축 방향으로 ±α 거리
  ③ 중심점: 반복으로 순수 오차 추정

2차 반응 표면 모델:
  ŷ = b₀ + Σbᵢxᵢ + Σbᵢᵢxᵢ² + Σbᵢⱼxᵢxⱼ

**RSM(반응표면법)**은 CCD 결과로 등고선 그래프를 그려 최적 조건을 시각적으로 찾습니다.

5. 블록 설계 (Blocking)

통제할 수 없는 외란 요인(작업자, 배치, 장비)을 블록으로 묶어 그 영향을 분리합니다.

예: 2명의 작업자(블록)로 동일 실험을 수행
   → 작업자 효과를 블록 변동으로 분리
   → 처리 효과를 더 정확히 추정

설계	특징
완전블록 설계 (RCBD)	각 블록에서 모든 처리를 1회씩 실시
라틴방격 설계	행·열 모두 블록 (2개 외란 동시 통제)
그레코-라틴방격	3개 외란 동시 통제

6. 실험 설계 절차

1. 문제 정의
   목적: 최적 조건 탐색 / 유의 인자 스크리닝?

2. 반응 변수 선택
   측정 방법, 정밀도, 분해능 확인

3. 인자와 수준 선택
   통제 가능 인자 vs 잡음 인자 구분

4. 설계 선택
   인자 수, 실험 횟수 제약, 요구 분해능 고려

5. 실험 수행
   랜덤 순서(Randomization) 필수 — 계통 오차 방지

6. 통계 분석
   ANOVA → 유의 인자 파악 → 잔차 검토

7. 결론 및 확인 실험
   최적 조건에서 확인 실험(Confirmation Run) 수행

💡 랜덤화가 중요한 이유: 실험 순서가 체계적이면 시간에 따른 변화(기계 예열, 원재료 변화 등)가 처리 효과와 혼동됩니다.

7. 설계 선택 가이드

인자 수
  ├── 1~2개: 완전요인 + ANOVA (일원/이원)
  ├── 3~5개 (스크리닝): 부분요인 (Resolution III~IV)
  ├── 3~5개 (최적화): 완전요인 또는 CCD
  └── 6개 이상: Plackett-Burman (스크리닝 전용)
                또는 다구찌 직교배열