욕조곡선과 고장 분포 — 지수분포·와이블 분포

개요

욕조곡선(Bathtub Curve)은 제품 수명 주기에 따른 고장률 λ(t)의 변화 패턴을 욕조 단면에 비유한 그래프다. 초기·우발·마모 3단계로 나뉘며, 각 단계에 적합한 고장 분포가 다르다.

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욕조곡선 — 3단계 고장률 패턴

고장률
 λ(t) ↑
       \                         /
        \                       /
    DFR  \                     /  IFR
          \___________________/
                   CFR
          ──────────────────────→ 시간 t
     |  초기고장기  |  우발고장기  |  마모고장기  |
         (DFR)        (CFR)        (IFR)

단계	고장률 특성	주요 원인	대응 전략
초기고장기 (DFR, Decreasing Failure Rate)	시간이 지날수록 감소	설계·제조 결함, 불량 부품, 조립 오류	번인(Burn-in), 스트레스 스크리닝, 출하 검사 강화
우발고장기 (CFR, Constant Failure Rate)	시간에 무관하게 일정	우발적 과부하, 예상 밖 환경 충격, 인적 오류	예방보전 계획, 중복설계(Redundancy), 운용 교육
마모고장기 (IFR, Increasing Failure Rate)	시간이 지날수록 증가	피로, 마모, 부식, 산화, 열화	계획 교체(TBM), 마모 징후 모니터링(CBM)

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지수분포 — CFR의 수학적 모델

우발고장기의 고장률은 일정(λ = 상수)하며, 이를 지수분포로 모델링한다.

f(t)  = λ · exp(-λt)
R(t)  = exp(-λt)
F(t)  = 1 - exp(-λt)
λ(t)  = λ  (상수)
MTTF  = 1/λ

무기억성(Memoryless Property)

지수분포의 핵심 특성이자 시험 출제 포인트:

P(T > s+t | T > s) = P(T > t)

이미 s시간 동안 정상 작동한 부품이 앞으로 t시간 더 생존할 확률은, 처음 사용하는 부품이 t시간 생존할 확률과 동일하다.

이 성질 덕분에 우발고장기의 부품은 "이미 오래 썼으니 곧 고장날 것"이라는 예측이 성립하지 않는다. 마모 없이 언제든지 교체해도 확률적으로 동일하다.

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와이블 분포 (Weibull Distribution) — 욕조곡선 전체를 포괄

와이블 분포는 β 값 하나로 욕조곡선 3단계를 모두 표현할 수 있어 신뢰성 분석의 핵심 분포다.

2모수 와이블의 함수 표현

R(t) = exp[-(t/η)^β]
f(t) = (β/η) · (t/η)^(β-1) · exp[-(t/η)^β]
λ(t) = (β/η) · (t/η)^(β-1)

• β : 형상모수(Shape Parameter) — 고장 패턴의 형태 결정
• η : 척도모수(Scale Parameter, 특성수명) — 시간 축의 척도 결정

형상모수 β의 해석 (시험 핵심)

β 값	고장률 특성	해당 고장기	대표 현상
β < 1	감소 (DFR)	초기고장기	초기 결함, 조립 불량
β = 1	일정 (CFR)	우발고장기	지수분포와 완전 동일
β = 2	완만한 증가	마모 초기	레일리(Rayleigh) 분포와 동일
β = 3~4	증가 (IFR)	마모고장기	정규분포에 근사
β >> 1	급격한 증가	마모 후기	급격한 피로·마모 패턴

척도모수 η(특성수명)의 의미

β 값에 무관하게, **t = η일 때 항상 R(η) = exp(-1) ≈ 0.3679(36.79%)**다.

R(η) = exp[-(η/η)^β] = exp[-1] ≈ 0.3679

→ η는 누적 고장 확률이 63.21%가 되는 시간 = 특성수명(Characteristic Life)

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번인(Burn-in) — 초기고장기 제거 전략

초기고장기(β < 1)에서 고장률이 빠르게 낮아지는 특성을 이용해, 출하 전 일정 시간 동안 스트레스를 가해 잠재 결함 부품을 미리 제거하는 방법.

구분	내용
목적	초기고장기 고장품 선별·제거
방법	온도 사이클, 전압 스트레스, 진동 등
결과	번인 후 고객 인도 시점은 우발고장기(CFR) 진입 상태
주의	스트레스가 지나치면 마모 촉진 → 수명 단축

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시험 예제

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지수분포 vs 와이블 분포 비교

항목	지수분포	와이블 분포
적용 고장기	우발고장기(CFR)만	3단계 전체 가능
모수 수	1개 (λ)	2개 (β, η)
고장률	상수	β에 따라 감소/일정/증가
무기억성	있음	β=1일 때만
사용 분야	전자 부품, 소프트웨어 고장	기계 부품, 피로·마모 고장

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관련 노트

• 신뢰성 기초 — R(t), λ(t), MTTF, MTBF, MTTR 기본 개념
• 시스템 신뢰도 — 직렬·병렬 시스템의 신뢰도 계산
• 신뢰성 설계 기법 — 번인·HALT·HASS 등 신뢰성 시험