신뢰성 기초 — R(t)·λ(t)·MTTF·MTBF·MTTR·가용도
신뢰도 함수, 고장률 함수, 평균수명 지표(MTTF·MTBF·MTTR), 가용도의 정의와 상호 관계를 수치 계산 예제와 함께 정리합니다.
개요
신뢰성(Reliability)이란 주어진 기능을 정해진 조건에서 의도한 기간 동안 고장 없이 수행할 확률이다. 품질기술사 시험에서 신뢰성 문제는 수치 계산과 서술이 혼합되므로, 기본 함수 관계를 확실히 이해해야 한다.
신뢰성의 4대 정의 요소
| 요소 | 설명 | 예시 |
|---|---|---|
| 기능 (Function) | 요구되는 성능 또는 동작 | 정격 출력 유지 |
| 조건 (Conditions) | 환경·운용 조건 | 온도 −20~85°C, 정격 전압 |
| 기간 (Duration) | 임무 시간 또는 수명 | 10,000시간 |
| 확률 (Probability) | 수치로 표현된 신뢰도 | R = 0.95 (95%) |
신뢰도 함수와 고장 관련 함수
핵심 4개 함수의 관계
수명 확률변수 T에 대해 다음 4개 함수가 상호 유도된다.
신뢰도 함수 R(t) = P(T > t) — 시간 t까지 생존할 확률
누적 고장분포 F(t) = 1 - R(t) = P(T ≤ t) — 시간 t까지 고장날 확률
고장밀도 함수 f(t) = -dR(t)/dt = dF(t)/dt — 순간 고장 확률밀도
고장률 함수 λ(t) = f(t) / R(t) — 생존한 아이템의 순간 고장률
R(t)와 λ(t)의 역방향 관계
고장률 함수로부터 신뢰도 함수를 구하는 관계:
R(t) = exp[ -∫₀ᵗ λ(u) du ]
λ(t)가 상수(λ)이면:
R(t) = exp(-λt) — 지수분포 (CFR, 상수 고장률)
지수분포와 CFR(Constant Failure Rate)
지수분포는 고장률이 시간에 무관하게 일정한 경우 사용되며, 우발고장기(욕조곡선 중간 구간)에 적합하다.
| 함수 | 지수분포 표현 |
|---|---|
| 고장률 | λ(t) = λ (상수) |
| 고장밀도 | f(t) = λ·exp(-λt) |
| 신뢰도 | R(t) = exp(-λt) |
| 누적 고장분포 | F(t) = 1 - exp(-λt) |
무기억성(Memoryless Property): 지수분포는
P(T > s+t | T > s) = P(T > t)를 만족한다. 즉, 이미 s시간 동안 고장 없이 작동한 이후에도 앞으로 t시간 더 생존할 확률은 처음부터 t시간 생존할 확률과 동일하다. 이는 우발 고장을 모델링하는 데 중요한 특성이다.
MTTF · MTBF · MTTR 비교
| 지표 | 영문 | 정의 | 적용 대상 | 공식 |
|---|---|---|---|---|
| MTTF | Mean Time To Failure | 최초 고장까지 평균 시간 | 비수리 품목(소모품, 일회용) | MTTF = ∫₀^∞ R(t) dt |
| MTBF | Mean Time Between Failures | 고장 간 평균 시간 | 수리 가능 시스템 | MTBF = 총 가동시간 ÷ 고장 건수 |
| MTTR | Mean Time To Repair | 평균 수리(복구) 시간 | 수리 가능 시스템 | MTTR = 총 수리시간 ÷ 고장 건수 |
지수분포에서 MTTF = 1/λ, MTBF ≈ MTTF (수리 후 동일 분포 가정 시).
가용도 (Availability)
가용도는 시스템이 필요한 시점에 정상 작동할 확률이다.
고유 가용도 (Inherent Availability)
A = MTBF / (MTBF + MTTR)
가용도 종류
| 종류 | 고려 요소 | 용도 |
|---|---|---|
| 고유 가용도 (Ai) | MTBF, MTTR만 포함 | 설계 단계 이론값 |
| 달성 가용도 (Aa) | 예방보전 시간 추가 포함 | 운용 계획 |
| 운용 가용도 (Ao) | 대기시간·행정지연 포함 | 실제 운용 환경 |
시험 예제
[예제 1] 어떤 전자 부품의 MTBF가 200시간이며 지수분포를 따른다고 한다.
(1) 고장률 λ를 구하라. (2) t = 100시간에서의 신뢰도 R(100)을 구하라. (3) R(t) = 0.5가 되는 시간(반감기)을 구하라.
[예제 2] 어느 설비가 720시간 동안 가동되면서 6번 고장났고, 총 수리시간은 24시간이었다.
(1) MTBF, MTTR을 계산하라. (2) 고유 가용도(Ai)를 구하라. (3) 고유 가용도를 99% 이상으로 개선하려면 MTTR을 몇 시간 이하로 줄여야 하는가?
[예제 3 — 유도형] 고장률이 λ인 지수분포를 따르는 부품의 MTTF = 1/λ임을 적분으로 유도하라.
관련 노트
- 욕조곡선과 고장 분포 — 지수분포가 적용되는 우발고장기와 3단계 고장 패턴
- 시스템 신뢰도 — MTTF 기반의 직렬·병렬 시스템 계산
- TPM 개요 — 설비 MTBF·MTTR 관리와의 연계