계량형 확률 분포 — 정규·t·F·χ²·지수·와이블 | 학습 위키

연속형 확률 분포란?

확률 변수 X가 특정 범위의 모든 실수값을 취할 수 있을 때 연속형 확률 분포라고 합니다.
확률은 **밀도 함수 f(x)**의 적분으로 구합니다.

P(a ≤ X ≤ b) = ∫ f(x) dx  (a에서 b까지)
특성: f(x) ≥ 0, ∫ f(x) dx = 1 (전 범위)

1. 정규 분포 (Normal Distribution)

품질 통계의 가장 핵심 분포입니다.

확률밀도함수

f(x) = (1 / σ√2π) × exp[ -(x - μ)² / (2σ²) ]

매개변수: μ (평균), σ² (분산)
표기: X ~ N(μ, σ²)

정규분포의 특성

종 모양(Bell Curve): 평균에 대해 좌우 대칭
μ ± σ 구간: 68.27%의 데이터 포함
μ ± 2σ 구간: 95.45%의 데이터 포함
μ ± 3σ 구간: 99.73%의 데이터 포함 ← SPC 관리한계 기준

정규 분포 곡선 — μ ± 1σ / 2σ / 3σ 포함 구간

μ ± 1σ = 68.27%μ ± 2σ = 95.45%μ ± 3σ = 99.73%

표준 정규 분포 (Standard Normal)

Z = (X - μ) / σ  →  Z ~ N(0, 1)

표준화(Z-변환)하면 어떤 정규분포도 표준정규분포표(Z-table)로 확률을 계산할 수 있습니다.

자주 사용되는 Z값:

확률	Z값
단측 90%	z = 1.282
단측 95%	z = 1.645
단측 99%	z = 2.326
양측 95%	z = ±1.960
양측 99%	z = ±2.576
양측 99.73%	z = ±3.000

공정능력과 정규분포

Cp = (USL - LSL) / 6σ
  → σ를 줄이면 Cp 증가 (분포가 규격 안에 더 잘 들어옴)

정규분포에서 ±3σ 밖에 있는 비율은 0.27% (2700 PPM) 이며, 이것이 Cp = 1.0의 의미입니다.

💡 6σ(Six Sigma): ±6σ → 3.4 PPM (공정 이동 1.5σ 가정 시)

2. t 분포 (Student's t-Distribution)

소표본(n < 30)이거나 σ를 모를 때 모평균 μ를 추정·검정하는 분포입니다.

t = (x̄ - μ) / (s / √n)  ~  t(ν)

ν: 자유도 = n - 1

t 분포의 특성

정규분포와 유사한 종 모양이나, 꼬리가 더 두껍습니다.
자유도 ν가 커질수록 표준정규분포에 수렴합니다 (ν > 30이면 거의 동일).
표본 크기가 작을수록 불확실성이 커져 꼬리가 두꺼워집니다.

사용 예

용도	방법
모평균 추정	x̄ ± t(α/2, n-1) × s/√n
두 그룹 평균 비교	독립 이표본 t-검정
대응 비교 (전/후)	대응 t-검정

MSA에서의 t 분포

Gauge R&R 분석 시 측정자별 차이 검정에 t-검정이 사용됩니다.

3. F 분포

두 모집단의 분산 비율을 검정하거나, **분산분석(ANOVA)**에 사용됩니다.

F = s₁² / s₂²  ~  F(ν₁, ν₂)

ν₁: 분자 자유도 = n₁ - 1
ν₂: 분모 자유도 = n₂ - 1

F 분포의 특성

항상 양수(≥ 0) 이며 오른쪽으로 치우친 분포입니다.
두 자유도 ν₁, ν₂에 따라 형태가 달라집니다.

사용 예

용도	방법
등분산 검정	F = s₁² / s₂² 로 F-검정
일원 분산분석	F = MSB / MSW (급간 분산 / 급내 분산)
회귀분석 유의성	F = MSR / MSE

💡 품질기술사: ANOVA에서 F-값 해석, MSA의 분산 분해에 자주 등장합니다.

4. χ² 분포 (Chi-Square Distribution)

표본분산의 분포, 또는 적합도 검정·독립성 검정에 사용됩니다.

χ² = (n - 1)s² / σ²  ~  χ²(ν)

ν: 자유도 = n - 1

χ² 분포의 특성

항상 양수(≥ 0) 이며 오른쪽 치우침 분포입니다.
자유도가 커질수록 정규분포에 수렴합니다.

사용 예

용도	공식
모분산 신뢰구간	[(n-1)s²/χ²_상, (n-1)s²/χ²_하]
적합도 검정	χ² = Σ(O - E)² / E
독립성 검정	분할표 분석

5. 지수 분포 (Exponential Distribution)

고장·수명 분석에서 우연 고장(고장률 일정) 을 모델링합니다.

f(t) = λ × e^(-λt)   (t ≥ 0)
F(t) = 1 - e^(-λt)   (누적분포함수, 고장확률)
R(t) = e^(-λt)       (신뢰도함수)

λ: 고장률 (1/MTTF)
MTTF = 1/λ (평균고장시간)

무기억 특성 (Memoryless Property)

지수분포의 가장 중요한 특성입니다.

P(T > s+t | T > s) = P(T > t)

"이미 시간 s 동안 살아남았어도, 앞으로의 수명 분포는 처음과 동일"
→ 욕조곡선의 우연고장기(CFR, Constant Failure Rate) 구간에 해당합니다.

지수분포 vs 포아송 분포

두 분포는 쌍을 이룹니다.

분포	모델링 대상
포아송 (이산)	단위 시간당 고장 발생 횟수
지수 (연속)	고장 사이의 간격(시간)

6. 와이블 분포 (Weibull Distribution)

형상 매개변수(β) 를 조절해 다양한 고장 패턴을 모델링하는 매우 유연한 분포입니다.

f(t) = (β/η) × (t/η)^(β-1) × exp[-(t/η)^β]

β: 형상 매개변수 (Shape Parameter)
η: 척도 매개변수 (Scale Parameter, 특성수명)
γ: 위치 매개변수 (보통 0으로 설정)

β(베타)에 따른 고장 패턴 — 욕조곡선과의 연결

β 값	고장률 형태	의미	욕조곡선 구간
β < 1	감소형 (DFR)	초기 결함 제거 (번인 효과)	초기고장기
β = 1	일정형 (CFR)	지수분포와 동일	우연고장기
β > 1	증가형 (IFR)	마모·피로 고장	마모고장기
β ≈ 3.5	거의 정규분포	—	—

고장률
λ(t)  │  β < 1
      │  \___________    ← 감소 (초기고장)
      │            β = 1
      │  ─────────────   ← 일정 (우연고장)
      │               / β > 1
      │  ────────────/   ← 증가 (마모고장)
      └──────────────────── 시간 t

특성수명 η (Eta)

R(η) = e^(-1) ≈ 0.368 = 36.8%

η 시점에서 신뢰도는 항상 63.2%가 고장, 36.8%가 생존입니다.

💡 시험 포인트: β값에 따른 고장률 형태와 욕조곡선의 연결은 단골 문제입니다.

7. 대수정규 분포 (Lognormal Distribution)

X = ln(T)가 정규분포를 따를 때 T의 분포입니다.

T ~ Lognormal(μ, σ²)
ln(T) ~ N(μ, σ²)

MTTF = exp(μ + σ²/2)

소재 피로, 부식, 균열 성장 등 피로 수명에 적합합니다.
와이블 분포와 함께 신뢰성 공학에서 자주 사용됩니다.

8. 분포 선택 가이드

상황	사용 분포
공정 데이터 일반	정규분포
소표본 평균 추정 (σ 모름)	t 분포
두 그룹 분산 비교 / ANOVA	F 분포
분산 추정·적합도 검정	χ² 분포
우연고장기 수명 (고장률 일정)	지수분포
초기·마모고장 수명 (범용)	와이블 분포
피로·균열 수명	대수정규분포

계량형 확률 분포 — 정규·t·F·χ²·지수·와이블

연속형 확률 분포란?

1. 정규 분포 (Normal Distribution)

확률밀도함수

정규분포의 특성

표준 정규 분포 (Standard Normal)

공정능력과 정규분포

2. t 분포 (Student's t-Distribution)

t 분포의 특성

사용 예

MSA에서의 t 분포

3. F 분포

F 분포의 특성

사용 예

4. χ² 분포 (Chi-Square Distribution)

χ² 분포의 특성

사용 예

5. 지수 분포 (Exponential Distribution)

무기억 특성 (Memoryless Property)

지수분포 vs 포아송 분포

6. 와이블 분포 (Weibull Distribution)

β(베타)에 따른 고장 패턴 — 욕조곡선과의 연결

특성수명 η (Eta)

7. 대수정규 분포 (Lognormal Distribution)

8. 분포 선택 가이드

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